Explicación de la Teoría de Razón Cruzada.
- 26 sept
- 4 Min. de lectura
En la Accidentología vial
Por Paulo Renato Lucchini Traverso
Perito en Investigación hechos del tránsito e Ingeniero de transporte
Socio activo del Colegio de Peritos Profesionales de Chile A.G.
Actualmente, la teoría de la geometría aritmética es fundamental para entender el proceso analítico que es el fundamento del análisis de videos de vehículos en movimiento, para determinar la velocidad de circulación.
DEFINICIÓN:
Pensemos en una recta y en ella cuatro puntos definidos aleatoriamente a los cuales les pondremos nombres con letras mayúsculas.
Las distancias entre los puntos A, B, C y D, vamos a definirlas como:
Azul: AC (distancia entre A y C).
Verde: BC (distancia entre B y C).
Morado: AD (distancia entre A y D).
Naranja: BD (distancia entre B y D).
La teoría de razón cruzada (también conocida como relación anarmónica) es un concepto geométrico que mide una relación específica entre cuatro puntos alineados o cuatro puntos colineales proyectados en una línea.
Dada una línea recta y cuatro puntos A, B, C, y D en ella, la razón cruzada se define como:
Ante todo, hay que entender que la razón cruzada es un número que resulta de la relación entre espacios definidos en una recta cualquiera.
Vamos a añadir números al gráfico y al cálculo para que sea más claro. Usaremos los mismos valores de las posiciones A=0 = , B=2, C=5, y D=10. Calculemos las distancias y coloquemos los números directamente en el gráfico:
Distancias calculadas:
AC= C−A= 5−0= 5
BC= C−B= 5−2= 3
AD= D−A= 10−0=10
BD= D−B= 10−2= 8
VINCULACIÓN CON LA ACCIDENTOLOGÍA
Las imágenes de las Figura 2, representan dos fotogramas de un video de una cámara de seguridad, que capta el movimiento de un vehículo antes de una colisión.
Mediante algún recurso tecnológico, esas 2 imágenes pueden superponerse para generar la imagen de la Figura 3, donde consideramos que la trayectoria del vehículo desde el fotograma 1 al fotograma 2, no se modificó y siguió una trayectoria recta.
De ser así, podemos trazar una recta que pase por el centro de las ruedas delanteras y traseras en las posiciones 1 y 2.
Ver Figura 4
Los puntos A, B, C y D definidos en la teoría de la razón cruzada pueden ahora ser representados en la Figura 4, donde A y B son los ejes de las ruedas delantera derecha y trasera derecha en el fotograma 1 y, C y D los mismos ejes en el fotograma 2.
GEOMETRÍA PROYECTIVA
Cuando extendemos la teoría de la razón cruzada a dos rectas no paralelas, entramos en el contexto de la geometría proyectiva. En este caso, la relación anarmónica sigue siendo válida al considerar cómo los puntos de intersección de líneas proyectadas se relacionan en términos proporcionales.
Supongamos que tenemos:
Dos rectas no paralelas, digamos r1 y r2.
Un punto de proyección P, desde el cual proyectamos las posiciones de cuatro puntos A, B, C, D en r1 hacia r2.
Los puntos proyectados en r2 se denominan A′, B′, C′, D′.
Propiedad fundamental:
La razón cruzada entre los cuatro puntos en r1 será idéntica a la razón cruzada entre sus proyecciones en r2. Es decir:
Razón cruzada en r1= Razón cruzada en r2.
Esto se debe a que la razón cruzada es invariante bajo transformaciones proyectivas.
En símbolos:
EJEMPLO y DEMOSTRACIÓN GRÁFICA
De acuerdo con la Figura 6, se muestran dos reglas que son de idéntica fabricación, longitud y escala. Una regla está ubicada en forma horizontal y la segunda en forma oblicua en un ángulo desconocido. Se elijen arbitrariamente cuatro puntos A. B, C, D sobre la regla 1.
Se proyectan los cuatro puntos sobre la regla 2. Las posiciones de los puntos en la regla 1 son:
A= 0cm B= 4cm C= 10cm D= 14cm
Las posiciones de las proyecciones de los puntos A, B, C, D, sobre la regla 2 son:
A’= 0cm B’= 4.2 cm C’= 10.6 cm D’= 14.8 cm
En la regla 1 las distancias son:
AC= (10 – 0) cm = 10 cm
BC= (10 – 4) cm = 6 cm
AD= (14 – 0) cm = 14 cm
BD= (14 – 4) cm = 10 cm
La razón cruzada k en la regla 1 es:
En la regla 2 las distancias son:
A’C’= (10.6 – 0) cm = 10.6 cm
B’C’= (10.6 – 4.2) cm = 6.4 cm
A’D’= (14.8 – 0) cm = 14.8 cm
B’D’= (14.8 – 4.2) cm = 10.6 cm
La razón cruzada k’ en la regla 2 es:
Conclusión:
La proyección de la razón cruzada es la misma en la regla 1 y en su proyección en la regla 2.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
1] Fernando Henrique Lonzetti. “Generalização do método de razão cruzada para estimação develocidade em aplicações de videoanálise forense”. Universidad Dederal de Santa Catarina. Floranópolis 2023.
2] Rogerio de Medeiros Tocantins. “Cálculo de velocidade por meio de câmaras de monitoramento”. Tercer Congreso de Actualización en Reconstrucción de Accidentes de Tránsito. Resistencia, junio 2019.
3] Dr. Héctor Flores Cantú. Razón Cruzada. Matemática de Nuevo Leon. htps://www.matematicasnuevoleon.mx/
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